Prólogo
En estas notas trataremos dos grandes temas: Los mentados en el título. Para estudiar
los números reales es necesario conocer las propiedades de los racionales y para esto es a
su vez necesario comprender a los números enteros. Por esto comenzaremos en el capítulo 1
analizando las propiedades algebraicas de los enteros y los racionales. También estudiaremos
las propiedades que posee el orden de los racionales, pues la diferencia principal entre los
racionales y los reales se refleja en el orden. En el capítulo 2 estudiaremos a los reales. El
énfasis se hará en el uso de la propiedad del supremo para mostrar algunas de las propiedades
más importantes de R.
El capítulo 1 tiene además otro propósito. Queremos que el lector experimente, quizá por
primera vez, con demostraciones simbólicas formales. Es decir, argumentos lógicos presentados secuencialmente donde cada proposición en la demostración debe estar rigurosamente
justificada. Esto sólo lo haremos en una parte del capítulo 1, el resto del texto estará escrito
en el estilo usual en matemáticas, que sin dejar de ser riguroso y formal, no se ciñe a ese
esquema estricto de las demostraciones de la lógica simbólica.
Esperamos que los capítulos 1 y 2 ayuden a completar la introducción a las herramientas
de la lógica y a los fundamentos de los sistemas numéricos hecha en [6].
El segundo tema que queremos tratar es el concepto de infinito. Para hacerlo es naturalmente necesario estudiar primero a las funciones. Esto es por sí mismo un objetivo muy
importante, pues las funciones son una herramienta imprescindible para todos los cursos
de matemáticas. En el capítulo 3 hacemos una breve introducción de la relaciones binarias
para poder introducir el concepto de función como un tipo particular de relación binaria.
Finalmente, en el capítulo 5 estudiamos el concepto de cardinalidad. Queremos que el lector
se familiarize con las propiedades básicas de los conjuntos infinitos, en particular que pueda
distinguir los conjuntos numerables y conozca que la recta no tiene el mismo tamaño que los
números racionales.
Estas notas fueron escritas entre los años 1997 y 1999 y desde entonces han sido objeto
de varias revisiones. En varios momentos de su elaboración hemos consultado los libros
[1, 2, 4, 5]. Deseo agradecer a los profesores Hernando Gaitán, Olga Porras, Oswaldo Araujo,
Giorgio Bianchi, Claribet Piña, Carlos Parra y José Luis Chacón por las observaciones y
sugerencias que han hecho sobre estas notas. También quiero agradecer los comentarios
hechos por los estudiantes que las usaron, algunas de sus preguntas fueron incorporadas como
ejercicios. Este es un trabajo no concluido que es revisado periodicamente, los comentarios
y sugerencias pueden ser enviados a la dirección electrónica del autor: [email protected].
v