CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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Podemos componer f con g y obtenemos la función g ◦ f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} y
notamos que
(g ◦ f )(x) = x, para cada x ∈ {1, 2, 3, 4}.
Por otra parte, también podemos componer g con f y obtenemos la función f ◦g : {a, b, c, d} →
{a, b, c, d} y notamos que
(f ◦ g)(x) = x, para cada x ∈ {a, b, c, d}.
Las funciones compuestas obtenidas reciben el nombre de función identidad, pues no
alteran los elementos del dominio. Obsérvese que estas funciones no son iguales. La primera
tiene dominio {1, 2, 3, 4} y la segunda {a, b, c, d}. Las funciones identidad son sencillas pero
cruciales para caracterizar las funciones biyectivas. Por esta razón le daremos una notación
especial. Dado un conjunto cualquiera A, denotaremos por 1A la función
1A : A → A
definida por
1A (x) = x, para cada x ∈ A.
Hemos usado el subíndice A para denotar la función identidad de A pues obviamente esta
función depende del conjunto A. Es fácil verificar que la función identidad 1 A es inyectiva y
sobreyectiva, es decir, es biyectiva.
Podemos expresar la propiedad que tiene la función g del ejemplo que estamos analizando
diciendo que
g ◦ f = 1{1,2,3,4} y f ◦ g = 1{a,b,c,d} .
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Las propiedades de la función g en el ejemplo anterior se deben a que f es biyectiva,
como lo demostramos a continuación.
Teorema 4.39. Sea f : A → B. Las siguientes afirmaciones son equivalentes
(i) f es biyectiva
(ii) Existe una función g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B .
Demostración: Para demostrar esta equivalencia debemos mostrar dos implicaciones.
(ii) ⇒ (i). Supongamos que (ii) se cumple. Es decir, supongamos que existe una función
g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B . Primero mostraremos que f es inyectiva. Sean
x, x ∈ A y supongamos que f (x) = f (x ). Queremos ver que x = x . Como g ◦ f = 1A ,
entonces de la definición de composición de funciones obtenemos lo siguiente
g(f (x)) = (g ◦ f )(x) = 1A (x) = x
g(f (x )) = (g ◦ f )(x ) = 1A (x ) = x .
Por hipótesis f (x) = f (x ), entonces obviamente
g(f (x) = g(f (x )).