3.5. APLICACIONES DE LOS GRAFOS
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Ejercicios suplementarios del capítulo 3
1. Sea A = {1, 2, 3}, B = {a, b} y C = {5, 6, 7}. Determine por extensión los conjuntos:
(a) A2 × B, (b) B × A2 , (c) B 3 y (d) A × B × C.
2. Determine el rango de cada una de las siguiente relaciones. Determine también si son
reflexivas, simétricas, antisimétricas y/o transitivas.
a) R = {(x, y) ∈ Z × Z : x + y = 2}
b) R = {(x, y) ∈ Q : x · y = 0}
c) R = {(A, B) ∈ P(N) × P(N) : A ∪ B ⊆ {0, 1, 2, 3, 4}}
3. Haga el digrafo de las siguientes relaciones sobre {1, 2, 3, 4, 5, 6} y determine si son
reflexivas, simétricas, antisimétricas y/o transitivas.
a) xRy, si x divide a y.
b) R = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (5, 1)}
c) xRy, si x + y ≤ 6.
4. Muestre las siguientes afirmaciones
a) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces A × C ⊆ B × D.
b) A × B = ∅ si, y sólo si A = ∅ o B = ∅.
c) (A × B) ∩ (A × C) = ∅ si y sólo si B ∩ C = ∅ o A = ∅.
d ) Si A ⊆ B, entonces C × A ⊆ C × B.
5. Sea A = {1, 2, 3}. Defina una relación sobre A que satisfaga lo indicado.
a) Que no sea ni reflexiva, ni simétrica ni transitiva.
b) Que sea reflexiva y no sea simétrica ni transitiva.
c) Que no sea reflexiva, sea simétrica y no sea transitiva.
d ) Que no sea reflexiva, ni simétrica, pero sea transitiva.
e) Que sea reflexiva y simétrica, pero no sea transitiva.
f ) Que sea reflexiva, no sea simétrica y sea transitiva.
g) Que no sea reflexiva, sea simétrica y transitiva.
h) Que sea reflexiva, simétrica y transitiva.
6.
a) Sean R y S dos relaciones transitivas sobre un conjunto A. Muestre que R ∩ S
es una relación transitiva sobre A. ¿Podemos decir lo mismo sobre la propiedad
reflexiva y la propiedad simétrica?
b) Responda la misma pregunta pero ahora en relación a R ∪ S.