( =
Viimane seos näitab, et ka Fourier´i pööre on Gaussi jaotus, kuid lainearvu funktsioonina.
näitab dispersiooni. Lainearvu määramatus avaldub
△ = .
Kui me määramatusi korrutame, saame △x△k=1. See näitabki eespool väljatoodud seost, et mida
suurem on superpositsiooni lainearvude vahemik, seda kitsam on lainepakett ja vastupidi. Lainearv
ja osakese impulss on seotud p=hk. Ja seega saamegi määramatuse seose osakese asukoha ja
impulsi vahel järgmiselt
△x△p=h.
Tavaliselt tuletatakse ülalolev määramatuse seos osakese koordinaadi ja impulsi vahel nende
operaatorite mittekommuteeruvuse kaudu järgmiselt:
=
=
=
=
+
=
=
=
Saadud seos näitab seda, et osakese impulsi ja koordinaadi operaatorid omavahel ei kommuteeru:
=
Ja see näitabki ainult matemaatiliselt määramatuse seost osakese koordinaadi ja impulsi vahel:
Analoogilisel teel saadakse ka määramatuse seos osakese energia ja aja vahel:
Kuid see oli matemaatiline tuletus ja kirjeldus osakese määramatuse seosest impulsi ja koordinaadi
vahel. Füüsikaline tuletus ja kirjeldus sellest oli esitatud eespool funktsiooni integraalidega ja
lainepakettidega. Osakese määramatuse seosed tulenevad ju osakese lainelistest omadustest, mitte
aga lihtsalt „suvaliselt“ matemaatilistest võrranditest.
Määramatuse seos osakese koordinaadi ja impulsi vahel △x△p=h on seotud määramatuse
seosega osakese energia ja aja vahel järgmiselt. Osakese määramatuse seos koordinaadi ja impulsi
vahel on △x△p=h. Näiteks footon liigub vaakumis kiirusega c ja seega võib viimases seoses △x
avalduda nii: △x=c△t. Määramatuse seos avaldub nüüd niimoodi: c△t△p=h. Kuna osakese energia
avaldub valemiga E=mc2 ( E=mc2=hf ) ja impulss p=mc ( kuna siin v=c ), siis saamegi osakese
määramatuse seose energia ja aja vahel: c△t△(mc)=h, seega △E△t=h. Viimane seos näitab seda, et
osakese energia täpseks mõõtmiseks kestab mõõtmisprotsess lõpmata kaua. See tähendab sisuliselt
seda, et osakese energiat E ( kui osakese energiatase eksisteerib mingi Δt jooksul ) ei ole võimalik
määrata täpsemalt kui ΔE = h / Δt. Energia ja aja määramatuse seosest on võimalik määrata
kiirgussiirde kestvust Δt. See on umbkaudu sellises suurusjärgus, mis jääb 10-9 – 10-8 sekundit. Kuid
valguse võnkumise sagedus on umbes 1014 Hz. Kiirguvas valguse laines jõuab selle ajaga toimuda
106