dV = dl 0 dR 0 dl φ = r 2 dr sinθ dθ dφ. Kahe ruumipunkti vahelist kaugust kõveras aegruumis kirjeldab relatiivsusteooriast tuntud võrrand: ds 2 = dx 0 2 – dx 1 2 – dx 2 2 – dx 3 2 = c 2 dt 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = c 2 dt 2 – dl 2.
Kuna dl 2 = dr 2 + r 2( dθ 2 + sin 2 θdφ 2). siis seega saame kahe punkti vahelise kauguse kõveras aegruumis kirjeldada järgmiselt: ds 2 = c 2 dt 2 –( dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2).
Kosmoloogias tähistatakse aga radiaalset kaugust kahe punkti vahel nõnda: dl χ = a( t) dχ, l χ = R =( ´= a( f) χ, χ =( 0; ∞). χ on radiaalkoordinaat. Sfääri pindala võrrand tuleb seega: dS = a 2 χ 2 sinθ dθ dφ.
Radiaalne kaugus R = r = a( t) χ
võib olla ka kahe galaktika vaheline kaugus Universumis. Sellest tulenevalt võime kahe punkti vahelise kauguse kirjeldada diferentsiaalvõrrandiga:
ja kõveras aegruumis dl 2 = a 2( t)( dχ 2 + sin 2 χ( dθ 2 + sin 2 θdφ 2)), χ ϵ( 0, π)
ds 2 = c 2 dt 2 – a 2( t)( dχ 2 + sin 2 χ( dθ 2 + sin 2 θdφ 2)), kus sin 2 χ võib olla ka χ 2 või sh 2 χ. Viimane võrrand esitatakse sageli järgmisel kujul:
= +( + +
kus ajakoordinaat t on Universumi eluiga, K on konstant, mis on seotud kõvera ruumiga ja a( t) on aja funktsioon, mis sõltub Universumi paisumisest või võimalikust kokkutõmbumisest. Kahe ruumipunkti vahelist kaugust( ehk ka Universumi „ suurust“) näitab s, mille väärtus ajas t muutub. Meetrika sõltub ka K konstandi väärtusest ehk ruumi kõverusest – seda, et kas tegemist on tasase, negatiivse või positiivse kõveruse Universumi ruumiga. Viimane võrrand, mida nimetatakse Robertson-Walkeri meetrikaks, näitab meile Universumi paisumise kosmoloogilist tulevikku. See sõltub sellest, et kas Universumi aegruum on üldiselt tasane, positiivne või negatiivne. Kuna selline lahend ei kirjelda Universumi „ tume energiat“ ehk kiireneva paisumise mõistatust, siis seega ei saa sellist formalismi lõpuni aktsepteerida. Tuleb leida või luua uus Universumi paisumise mudel, mis vastaks reaalsetele kosmoloogilistele faktidele. Järgnevalt püüame leida sellist Universumi paisumise mudelit, mis viib lõpuks ka „ tume energia“ mõistatuse lahendamisele.
40