Joonis 34 Sfäärilised koordinaadid.
Tegemist on meil tsentraalsümmeetrilise gravitatsiooniväljaga, mis ajas ei muutu. Sellisel juhul peame kasutama taas sfäärilisi koordinaate.
Niimoodi on võimalik kasutada Minkowski maailma joonelementi:
=( +
kus t, r, θ, φ on aja, mõõdupuu, nurgamõõtja jne mõõdetavad suurused. Kuid peame arvestama seda, et füüsikalise mõõdu saame alles siis, kui avaldame nende kaudu ds 2 põhitensori g ik. Kuid viimase valemi asemel on võimalik võtta ka selline kuju:
=( +
kus V 2, F 2 ja σ 2 on koordinaadi r funktsioonid. Ruudus olevad arvud on alati positiivsed. Neid funktsioone tuleb leida järgmisel A. Einsteini gravitatsiooniseadusel:
kuid peab arvestama seda, et T ik = 0 ja gravitatsioonivälja tsentrist lõpmata kaugel saadakse sama tulemus, mida näitab meile eespool olev Minkowski maailma joonelement.
=
R ik = G ik = 0 ja R = 0.
R ik on vaja avaldada kordajate V 2, F 2, σ 2 ja nende teise järguliste tuletiste kaudu. Avaldised, mis pärast siis on saadaval, tuleb panna võrduma nulliga. R ik arve on kokku kümme. Funktsioonid, mis on tundmatud, on kokku kolm. Lõpuks saadakse kaks võrrandit, mis on üksteisest sõltumatud. Seetõttu jääb ühe valik vabaks ja asendame σ 2 = r 2. Tundmatuteks jäävad seega V 2 ja F 2. Tehes ära mõningaid selle ülesande tensorarvutused, saadakse valemi lõplik kuju:
=( +
1916. aastal leidis sellise lahendi teadlane nimega Schwarzschild ja seetõttu nimetataksegi seda Schwarzschildi meetrikaks. Kui aga võtta viimases võrrandis r-i asemele
122