operaatorite mittekommuteeruvuse kaudu järgmiselt:
=
=
=
=
+
=
=
=
Saadud seos näitab seda, et osakese impulsi ja koordinaadi operaatorid omavahel ei kommuteeru:
=
Ja see näitabki ainult matemaatiliselt määramatuse seost osakese koordinaadi ja impulsi vahel:
Analoogilisel teel saadakse ka määramatuse seos osakese energia ja aja vahel:
Kuid see oli matemaatiline tuletus ja kirjeldus osakese määramatuse seosest impulsi ja koordinaadi
vahel. Füüsikaline tuletus ja kirjeldus sellest oli esitatud eespool funktsiooni integraalidega ja
lainepakettidega. Osakese määramatuse seosed tulenevad ju osakese lainelistest omadustest, mitte
aga lihtsalt „suvaliselt“ matemaatilistest võrranditest.
Määramatuse seos osakese koordinaadi ja impulsi vahel △x△p=h on seotud määramatuse
seosega osakese energia ja aja vahel järgmiselt. Osakese määramatuse seos koordinaadi ja impulsi
vahel on △x△p=h. Näiteks footon liigub vaakumis kiirusega c ja seega võib viimases seoses △x
avalduda nii: △x=c△t. Määramatuse seos avaldub nüüd niimoodi: c△t△p=h. Kuna osakese energia
avaldub valemiga E=mc2 ( E=mc2=hf ) ja impulss p=mc ( kuna siin v=c ), siis saamegi osakese
määramatuse seose energia ja aja vahel: c△t△(mc)=h, seega △E△t=h. Viimane seos näitab seda, et
osakese energia täpseks mõõtmiseks kestab mõõtmisprotsess lõpmata kaua. See tähendab sisuliselt
seda, et osakese energiat E ( kui osakese energiatase eksisteerib mingi Δt jooksul ) ei ole võimalik
määrata täpsemalt kui ΔE = h / Δt. Energia ja aja määramatuse seosest on võimalik määrata
kiirgussiirde kestvust Δt. See on umbkaudu sellises suurusjärgus, mis jääb 10-9 – 10-8 sekundit. Kuid
valguse võnkumise sagedus on umbes 1014 Hz. Kiirguvas valguse laines jõuab selle ajaga toimuda
sadu tuhandeid kuni miljoneid valguse võnkeid. Footon, mida kiiratakse, on nagu lainejada, milles
võib sisalduda 105-106 võnget. Valguse laine sagedus on teatavasti f = c / λ. Selle järgi on võimalik
välja arvutada ka footoni energia. Aja perioodi Δt, mille jooksul kiiratakse, on nimetatud ka kestust,
mille jooksul aatom on ergastatud. Aatomite kiirgumised kestavad lõpmatult kaua ainult siis, kui ΔE
läheneb nullile. Kuid kui ΔE läheneb lõpmatusele, siis aatomi kiirgumisaeg Δt läheneb nullile. Määramatuse seose tuletus osakese energia ja aja vahel näitab mõlema määramatuse seose omavahelist
seost ja ühist päritolu ( tulenevust osakese laineomadustest ).
Määramatuse relatsioonid on meie mikromaailmas üsna olulised. Näiteks klassikalise teooria
järgi peaksid elektronid aatomis kiirgama ja mõne ajavahemiku tagant aatomituuma kukkuma. Kuid
sellise protsessi välistavad just kvantmehaanikas tuntud määramatuse seosed. Näiteks elektroni
asukoha määramatus väheneb aatomituumale lähenedes, kuid seevastu elektroni impulss suureneb.
Selle tulemusena elektron eemaldub aatomituumast, sest elektroni energia suureneb. Elektriliste
jõudude tõttu tõmbuvad omavahel aatomituum ja elektron, kuid seevastu määramatuse seosed
takistavad seda. Ja sellepärast tekibki aatomituuma vahetus ümbruses teatud kindla
konfiguratsiooniga elektronpilv. Kuid, nagu me juba eespool nägime, tulevad määramatuse seosed
100