Kerapind kui kõverruum
Oletame seda, et meil on kera tsentriga O, mis on samas ka sfääriliste koordinaatide alguspunktiks. Sellistes koordinaatides on kerapind selliste ruumi punktide geomeetriliseks kohaks, mille
korral r on 1.
Joonis 32 Sfäärilised koordinaadid, kus θ=x1 ja φ=x2.
Sfäärilistes koordinaatides on Eukleidese „3-ruumi meetriline vorm“ esitatav aga järgmiselt:
(
=(
+(
+(
kuid selline meetriline vorm on juhul r = 1 järgmise kujuga:
(
=(
+(
=
+
Ülal olev avaldis ongi kerapinna meetriline vorm. Koordinaadistik, mida kasutatakse kerapinnal,
on peaaegu sama geograafilise koordinaadistikuga: x1-koordinaatjooned vastavad meridiaanidele ja
x2-koordinaatjooned on sarnased paralleelidega. Kuid peab arvestama seda, et koordinaat x1 muutub
selles koordinaadistikus vahemikus:
Kui aga kasutada geograafilisi koordinaate, siis vahemikus:
Need oleksid nagu põhjalaiuskraadid. Kui x1 = 0, siis see on ekvaator. Kuid vahemikus
87