CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 170
siendo la serie del miembro derecho( absolutamente) convergente en( −R, R). Aplicando el Teorema 7.33 a esta última serie deducimos que f ′ es derivable en( −R, R) y
f ′′ =
∞∑ k( k − 1) a k x k−2 = k = 2
∞∑( k + 2)( k + 1) a k + 2 x k, | x | < R, k = 0
siendo esta última serie absolutamente convergente. Repitiendo este razonamiento las veces que sean necesarias obtenemos que para todo n ∈ N la función f es n veces derivable en( −R, R), y f( n) está dada por la serie de potencias
f( n)( x) =
∞∑( n + k)( n + k − 1)...( k + 1) a n + k x k k = 0
= n!
∞∑() n + k a n + k x k, | x | < R, n = 0,1,.... k k = 0
donde la serie del miembro derecho es absolutamente convergente en( −R, R). Por tanto, f es de clase C ∞( −R, R). Además, de la fórmula anterior se deduce que f( n)( 0) = n! a n.
Esto significa que en el interior del intervalo de convergencia( −R, R) la serie de potencias ∑ ∞ k = 0 a k x k es la serie de Taylor de su suma f.