PROBLEMAS DE PRUEBAS SOLEMNES
46. Considere un triángulo isósceles de perı́metro fijo P :
(a) Si x es la longitud de uno de los lados iguales exprese el área A como una función de x.
(b) Encuentre el dominio de A.
47. Sea f (x) = log 1 (x − 2) − log 1 (x + 1) + log2 12 una función invertible.
2
2
(a) Hallar f −1 (x)
(b) Si g(x) = 2x hallar el valor de x tal que (g ◦ f )(x) = 8
48. Dada la función definida por:
f :A⊆R→B⊆R
x 7→ y = f (x) = −x2 + 16x + 17
(a) Grafique la función f (x), indicando los puntos más relevantes.
(b) Determine los subconjuntos A y B de modo que la función sea biyectiva.
(c) Respecto a la gráfica de la función en la parte (a), ¿en qué intervalo f es positiva?
49. Si x es la presión atmosférica ( medida en milı́metros de mercurio), h la altura (medida en metros
sobre el nivel del mar) y T es la temperatura (en ◦ C), entonces:
µ
h = (30T + 8000) · log
760
x
¶
Calcular:
(a) La altura de una montaña si los instrumentos ubicados en la cima registran 5◦ C y presión de 500
milı́metros de mercurio.
(b) La presión fuera del avión volando a 10000 metros de altura, si la temperatura exterior es -10◦ C.
50. El efecto de la anestesia bucal en un paciente en %, luego de t minutos de ser inyectado el fármaco
viene dado por
G(t) = −
25t2
+ 25t
16
(a) Se determina que un paciente no siente dolor cuando el efecto es superior al 75%. Utilizando
inecuaciones, determine el intervalo de tiempo para el cual el p aciente no siente dolor.
(b) ¿En qué instante se produce el grado máximo de adormecimiento?
51. La función definida por
f (x) =
1
1 + e−(b+mx)
se denomina función logı́stica y fue introducida por el biólogo matemático alemán Verhulst hacia el
año 1840 para describir el crecimiento de poblaciones con recursos alimentarios limitados. Demuestre
que
µ
ln
f (x)
1 − f (x)
¶
= b + mx