Iванов Є . В .
4 Булевi функцïı та вирази
Iванов Є . В .
4.1 Булевi функцïı
Булевi функцiï – це функцiï однiєï або кiлькох змiнних , значення i кожен з аргументiв яких можуть приймати лише одне з двох значень : 0 або 1 . Значення 1 може трактуватися “ iстина ”, а значення 0 – як “ хибнiсть ”. При такiй iнтерпретацiï булавi функцiï можуть використовуватися для визначення iстинностi певного висловлювання через iстиннiсть iнших висловлювань .
Розглянемо приклад . Якщо A , B – висловлювання ( речення , якi можна охарактеризувати як iстиннi або хибнi , наприклад “ число 1 менше за число 2 ” або “ число 1 бiльше за число 2 ”), то висловлювання “ A та B ” є iстинним тодi i тiльки тодi , коли висловлювання A iстинне та висловлювання B iстинне . Нехай x – значення , яке рiвне 0 , якщо A iстинне , або 1 , якщо А хибне . Аналогiчно , нехай y – значення , яке рiвне 0 , якщо B iстинне , або 1 , якщо B хибне , та нехай z – значення , яке рiвне 0 , якщо висловлювання “ A та B ” iстинне , або 1 , якщо висловлювання “ A та B ” хибне . Тодi значення z можна однозначно визначити , знаючи значення x та y , а саме : – якщо x = 0 i y = 0 , то z = 0 ; – якщо x = 0 i y = 1 , то z = 0 ; – якщо x = 1 i y = 0 , то z = 0 ; – якщо x = 1 i y = 1 , то z = 1 . Вказанi 4 випадки вичерпують всi можливi набори значень x та y , тому наведенi правила визначають функцiю вiд двох аргументiв , якi можуть приймати значення 0 або 1 , яка сама може приймати значення 0 або 1 . Цю функцiю називають булевою операцiєю I ( кон ’ юнкцiєю ) i часто позначають як ∧ . Таким чином , z = x ∧ y ( символ операцiï ∧ ставлять мiж ïï аргументами , що являє собою iнфiксну форму запису , що характерна i для запису арифметичних операцiй ). Дана операцiя має властивостi 0 ∧ 0 = 0 , 0 ∧ 1 = 0 , 1 ∧ 0 = 0 , 1 ∧ 1 = 1 . Фактично , значення x ∧ y можна виразити , застосувавши арифметичну операцiю множення : x ∧ y = x ∙ y ( при x ∈ 0 , 1 та y ∈ 0 , 1 ). Проте
55