(4) Ако права, която пада върху две прави, образува
вътрешни ъгли, които лежат от едната й
страна и са по-малки от две прави, тези прави,
продължени неограничено, се срещнат от онази
страна, в която ъглите са по-малко от два прави.
Към първата книга на Евклидовите „Начала” са
и 12-те Евклидови аксиоми:
1. Ако две величини са равни на трета величина, то те
са равни помежду си.
2. Ако към четна величина добавим друга четна величина,
получената сума е четна.
3. Ако от четна величина отнемем четна величина,
получава се четен остатък.
4. Ако към нечетна величина добавим четна величина,
получената сума е нечетна.
5. Ако от нечетна величина отнемем четна величина,
полученият остатък е нечетен.
6. Величини като двойствени от една величина, то
те са равни помежду си.
7. Половинки от една и съща величина са равни
помежду си.
8. Величини, които при налагане се съвместяват,
са равни помежду си.
9. Цялото
е
по-голямо
от
своите
части.
10. Всички прави линии са равни помежду си.
11. Ако две прави линии срещат трета, така че сумата
на вътрешните ъгли, лежащи от едната страна на
третата са по-малки от два прави ъгъла, то двете
първи прави, при достатъчно продължение, ще се
срещнат от тази страна на третата права, на която
сумата от вътрешните ъгли е по-малко от два прави.
12. Две прави линии не могат да затворятпростран-ство.
Следват 13-те части на книгата
(често наричани „книги”):
I. Свойства на триъгълниците. Признаци на
еднаквост. Построяване на бисектриса, среда на
отсечка и перпендикуляр към права. Изчисляване
на лица. В тази част се въвеждат свойствата на
успоредните прави. Тази част завършва с Питагоровата
теорема. Това е основата на Евклидовата геометрия.
Тя е логично и строго обоснована.
II. В тази част са положени основите на т.н.
геометрична алгебра, произхождаща още от Питагор.
Величините тук не са разгледани като числа, а като
дължини и лица на геометрични фигури. Втората книга
от Евклидовите „Начала” обхваща геометрични и
алгебрични тъждества. Тя може да се вземе като древна
алгебра, изтъкваща паралела между алгебричните
преобразувания и геометричните построения, въобще
връзката между алгебрата и геометрията.
III. Геометрия на окръжността. Книга трета обхваща
всичко, отнасящо се до кръга.
IV. Правилни многоъгълници. Вписани и описани.
Книга четвърта съдържа: как се вписва, а също и
описва в кръга триъгълник, правоъгълник, квадрат,
петоъгълник и други. Как може и трябва да се изчислява
квадратурата на даден кръг по чисто геометричен начин.
ГКЗ 1-2’2015
V. Посветена е на свойствата на пропорциите
и се отличава с висок стил. Книга пета е
особено интересна в определението относно
пропорционално