От тази формула също може да се получи
формулата
2f
tg 2α a =
e−g
.
(40)
за максималната ъглова деформация 2ω
(ъгъл с рамена симетрични на главните
посоки)
-
sin ω =
a−b
a+b
(41)
U 1 = α 12 − Aa
U 2 = α 13 − Aa
(44)
U 3 = α 23 − Aa
Елиминирането на двете величини a2 and b2 от
уравненията води до уравнение
sin 2 U 2 − sin 2 U 1 m22 − m12
=
sin 2 U 3 − sin 2 U 1 m32 − m12
(45)
което, ако се преобразува, приема вида
Главните мащаби и главните посоки обаче
можем да намерим като използваме индикатрисата
на Tissot.
sin(U 1 + U 2 ) sin(U 1 − U 2 ) m22 − m12
=
sin(U 1 + U 3 ) sin(U 1 − U 3 ) m32 − m12
(46)
Заместваме
U 1 + U 2 = (α 12 + α 13 ) − 2 Aa
U 1 − U 2 = α 12 − α 13
U 1 + U 3 = (α 12 + α 23 ) − 2 Aa
(47)
U 1 − U 3 = α 12 − α 23
в уравнения и получаваме
sin(α 12 + α 13 ) cos 2 Aa − cos(α 12 + α 13 ) sin 2 Aa
sin(α 12 + α 23 ) cos 2 Aa − cos(α 12 + α 23 ) sin 2 Aa
Фиг.1. Индикатриса на Tissot
Ако означим с m1, m2, m3 мащабите по трите
страни на триъгълника, а с U1, U2, U3 – ъглите,
които тези три страни сключват с направлението
на главната ос (направлението на максималния
мащаб), можем да напишем следните 3 уравнения
a cos U 1 + b sin U 1 = m
2
2
2
2
2
1
a 2 cos 2 U 2 + b 2 sin 2 U 2 = m22
a cos U 3 + b sin U 3 = m
2
2
2
2
,
(42)
S' 12
,
S 12
m2 =
S' 13
,
S 13
разлики
съответната
между
m3 =
страна
посочния
и
Ако разделим числителя и знаменателя с cos2
tg2 Aa =
S' 23
, (43)
S 23
Ъглите U1, U2, и U3 могат да бъдат представени
като
(48)
α и извършим леко преобразуване, ще получим
точна формула за неизвестната величина αa,:
2
3
където a, b са главните мащаби. Мащабите mi се
изчисляват чрез дължините S and S’ на
съответните страни, измерени (или изчислени) в
двете епохи по формулите:
m1 =
sin( α 12 − α 13 )
m 22 − m 12
=
.
sin( α 12 − α 23 ) m 23 − m 12
∗
α ik на
ъгъл α a на
ъгъл
посочния
2
2
2
3
2
2
2
3
m
m
m
m
− m12 cos2α12
−
− m12 cos2α12
− m12 sin 2α12
−
− m12 sin 2α12
− cos2α13
− cos2α 23
− sin 2α13
− sin 2α 23
(49)
Посредством намерената стойност за Аa ние
можем да пресметнем величините U1, U2 и U3 като
използваме (13). По-нататък могат да бъдат
изчислени и стойностите на полуосите a и b на
Указателницата или Индикатрисата на Tissot:
направлението на главния мащаб a.
ГКЗ 3-4 2013
17