SUMMARY
The finite elements method (FEM) in plane and the developed by the authors method in the space have been presented and applied for several case studies of surface earth movements. Comparative analysis and discussion of the resulting deformations have been accomplished and conclusions have been done.
Key words: finite elements method, principle deformations, surface earth movements, GNSS
РЕЗЮМЕ
Представен е методът на крайните елементи (МКЕ) в равнината и развитият от авторите МКЕ за пространството. Методът е приложен за няколко обекта на изследване на повърхностните движения на земната кора. Извършен е сравнителен анализ на определените деформации и са дискутирани получените резултати.
Ключови думи: метод на крайните елементи, главни деформации, повърхностни движения на земната кора, GNSS
1. ВЪВЕДЕНИЕ
Определянето на относителните деформации може да се извърши по различни начини. Най-широко разпространен е методът на крайните елементи (МКЕ). При този метод цялата територия, подложена на изследване, се разделя на отделни непокриващи се триъгълници. В границите на всеки триъгълен площен елемент се предполага, че деформациите са еднородни т.е., че средата е изотропна. Така всеки триъгълник се разглежда като отделен краен елемент.
Съвременната GNSS технология се използва широко за изследване на движенията на земната кора в локален, регионален и глобален мащаб. Днес методът на крайните елементи се използва успешно за анализ на движението на станциите, които са резултат от обработката на данни от GNSS, за да се получат тензори на напрежение [4], [6], [7], [12], [14], [15].
2. МЕТОД НА КРАЙНИТЕ ЕЛЕМЕНТИ В РАВНИНАТА
Установяването на деформациите се постига посредством преместването на върховете на триъгълника. Преместването на всяка точка се определя чрез разликата в координатите на точките, изведени за всяка епоха на измерване. Между началните (x, y) и деформираните координати (x', y') на точките в една крайна област се предполага, че съществуват връзките:
(1)
Формули (1) представляват развитие в Тейлоров ред на функциите и до първите частни производни, но в същото време те са едно афинно преобразуване на началните координати (x, y) в деформираните координати (x', y'). За намиране на 6-те коефициента a, b и c са необходими 6 уравнения или три точки с началните си и деформирани координати.
Горните връзки, приложени за разликите в координатите на едноименните точки ще имат вида
(2)
Коефициентите aik в уравнения (2) могат да бъдат определени от началните координати и техните изменения в трите точки на крайния елемент, като се решат 6 уравнения.
Параметри на транслация ( a10, a20) в (2) не причиняват никаква деформация в крайния елемент. Коефициентите a11, a12, a21, a22 обаче отразяват скоростта на преместването (деформацията) в посоката на координатните оси. При геофизичната интерпретация на геодинамичните процеси най-често се използват следните величини, свързани с деформацията:
• Посока на главните оси на деформацията. Това са две взаимно-перпендикулярни посоки ,по които разтягането или свиването имат екстремални стойности;
• Големина на главните деформации, която е разликата между тях;
• Мащабните характеристики на деформиране на територията.
Обикновено главните деформации се отнасят до средната точка в триъгълника.
При извеждането на главните деформации може да се разсъждава по следния начин.
Формира се симетричният тензор на деформациите
(3)
където
Тензорът за деформация (3) може също да бъде получен и по друг начин. Решават се три уравнения с три неизвестни
(4)
където
e деформацията по съответната страна на триъгълника, S'i – дължина на страната за текущата епоха t', S0i - дължина на страната за началната епоха t0, а α е посочният ъгъл на страната. По този начин обаче не може да се изведе въртенето ω.
Главните деформации са собствените числа на матрицата-тензор
11
МЕТОДЪТ НА КРАЙНИТЕ ЕЛЕМЕНТИ В РАВНИНАТА И В ПРОСТРАНСТВОТО ЗА АНАЛИЗ НА ДЕФОРМАЦИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Проф. д. т. н. Георги Вълев, ШУ, проф. д-р инж. Керанка Василева, НИГГГ -БАН
ГКЗ 5-6 ' 2018