P
2 . e π t − n 2
2 t m!!
{( ) } ( ) . X ,..., X
1 n
∈ B
В частност при 2
n
= 2Ô t −
= елипсата на разсейване е
P
{( ) } , X
Y където 2
x′
2
∈ B
2
∑ − =
m 1 n вероятността за попадане в
= 1− e
,
2
2
B е елипсата
+
2
( ) ( ) tσ ′
2 x t y′ σ ′
=
При 3 на разсейване е
P y
2
= 1 .
2 t −
n вероятността за попадане в елипсоида
2
. te π
{( ) } ( ) . ∈ B
,
2
X Y,
Z
където 3
x′
2
3
= 2Ô t
B е елипсоидът
y′ + tσ ′ ( ) ( ) ( ) tσ ′
2 2 x y t
2
+ z′
2
σ ′ z
2
−
= 1 .
От горните формули е видно , че за определянето на вероятността за попадането на случайната
точка ( ) в елипсоида на разсейване с оси , пропорционални на стандартите , не е необходимо да са известни размерите на елипсоида ,
а само коефициентът на пропорционалност .
X X ,...,
1
,
2
X n
Но доверителната вероятност без доверителната област е безсмислено да се определя . Въпреки че корелационната матрица дава известна представа за тази област , най-добре е размерите и разположението в пространството на елипсоида на разсейването да се определи с необходимата точност . В общия случай , за определянето на полуосите на елипсоида е необходимо корелираното нормално разпределение да се преобразува в канонична форма . Това става , като началото на кординатната система се премести в точката от n-мерното пространство , определена от
математическите очаквания ) a , a , � a (
. 1.
2 . n
и се ориентира така , че координатните й оси да съвпаднат с полуосите на елипсоида на разсейване . Ориентацията ( ротацията ) на координатната система е свързана с преобразуването на ковариационната
матрица K в диагонална ' K ' = RKR
T
,
2 t − m
K по формулата :
където R е неизвестна ротационна матрица , а
( 17 )
( 18 )
( 19 )
( 20 )
( 21 ) t
( 22 ) k
' ij
⎧0 , i ≠ j
= ⎨ ⎩λi
, i = j
Така направената трансформация на координатната система чрез транслация и ротация води до преобразувание на корелираната случайна величина в некорелираната и центрирана случайна величина
X , X ' ,..., X ' . Това са две различни системи
( )
'
1 2 n
случайни величини . Общото между двете случайни величини е , че имат елипсоид на разсейване с едни и същи размери и неотрицателно определени подобни корелационни матрици . Подобните корелационни матрици имат еднакви рангове , дитерминанти и следи .
Полуосите на елипсоида на разсейването
σ ′ σ ′ ,..., ′
1 , 2 σ n
) на случайните величини ( X ′ X ′ ,..., ′ )
1
,
2
няма как да се свързват със стандартите σ , σ ,..., σ )
на случайните величини ( X X ,..., )
1
,
2
X n
.
X n
(
1 2 n
Ако ковариационната матрица на системата
( X
1
, X
2
,..., X n
) с n стандарти σ σ ,..., e от ранг
1 , 2
r < n , то системата случайни величини ( X ′ X ′ ,..., ′ )
, X е с полуоси 1 2 n σ ′
1, σ ′
2
,..., σ ′ r
, 0r+
1,
0r+
2
, �,
0 , n
което означава , че случайните величини в системата не са функционално независим и .
На практика определянето на полуосите на елипсоида се свежда до намирането на собствените
числа λ i на изходнаковариационна матрица ( σ ′ i
= λi
) .
Ковариационните матрици са симетрични , неотрицателно определени и имат реални собствени числа . При сегашните изчислителни средства , за намирането на собствените числа на ковариационна матрица с ранг по-голям от 2 , подходящите са итерационните алгоритми за преобразуване на ковариационната матрица в диагонална чрез ортогонални преобразувания по формулата
K ′ m
= R m
K ′ m−1
R
T m
,
където : е ротационна матрица , съставена от посочните косинуси , изчислени чрез приблизителните стойности на ъглите на ротация , определени по формулата
α ′ ij
=
. 5a tan ( 2k′ /( k′
− k′ )
0 ij i j
От алгоритмична гледна точка най-просто е първо да се нулират недиагоналните елеманти на първия ред и първата колона , след това тези на втория ред и втората колона и т . н . Подреждането на собствените числа по главния диагонал на матрицата зависи от избрания алгоритъм за диагонализацията на ковариационната матрица .
. σ n
( 23 )
( 24 )
6 ГКЗ 3-4 ’ 2016