където
f k +1,...,n ( xk +1 ,..., xn | x1 ,..., xk ) =
2
1
1 xi − ai
=
exp −
fi ( xi )
,
2 σi
σ i 2π
(5)
където:
е нормалният закон на разпределение на i -та случайна
величина в системата.
на нормално разпределената система
( X 1 , X 2 ,... X k −1 , X k , X k +1 ,..., X n ) (номерирането е параметри:
k математически очаквания: a1 , a 2 ,..., a k ;
k12
k2
...
(6)
подсистемата
величини
с
нормално
( X 1 , X 2 ,..., X k )
има съвместна нормална плътност:
също нормален.
В инженерната практика много често се работи с
закон на разпределение на случайната
величина X i , изчислен при условие, че останалите
случайни величини, влизащи в системата, са приели
точно определени стойности:
1
k
2
∆( k )
( −1)
1 k k
exp − ∑∑ kij( k ) ( xi − ai ) ( x j − a j ) ,
2
=i 1 =j 1
детерминантата ∆ (k ) е
на
ковариационната
матрица K (k ) .
ij
_
xi | xi
D
на
Xi
. Условните
са
също
закони
на
нормални
с
n k( ) x − a
( j j)
ij
=
ai − ∑
kii( −1)
j =1
1, 2,..., n )
(i =
(9)
j ≠i
_
xi | x i
= σ x2i / xi =
1
k i(−1)
(i = 1,2,..., n ).
Условното математическо очакване a
x |x
i
i
представлява линейна функция от (n − 1) променливи
xj
(7)
( j = 1,2,..., n; j ≠ i ) , което означава, че повърхността на
регресията на X i от
представлява
x1 ,..., xi −1 , xi +1 ,..., xn
хиперравнина в n–мерното
пространство. Условната плътност на разпределение
на случайната величина X i при условие, че
X 1 = x1 ;...; X i −1 = xi −1 ; X i +1 = xi +1 ;...; X n = xn , е равна на
плътност
на
разпределение
на
подсистемата от случайни величини ( X k +1 , X k + 2 ,..., X n )
изчислена при условие, че останалите случайни
величини ( X 1 , X 2 ,..., X k ) ,
влизащи в истемата,
приели определени стойности x1 , x2 ,..., xk e
4
разпределение на подсистемата ( X k +1 , X k + 2 ,..., X n ) е
a
... k1k
... k 2 k
.
... ...
... k k
разпределени случайни
Условната
Доказва се, че условният закон на
−1
Следователно
където
( X 1 , X 2 ,..., X k ) .
математически очаквания и дисперсии:
системата, т.е.
( 2π )
f1,...,k ( x1 , x2 ,..., xk ) е нормалната плътност
разпределение
елементи на ковариационната матрица на изходната
f (=
x1 ,..., xk )
( X 1 , X 2 ,..., X n ) ,
X 1 = x1 ;...; X i −1 = xi −1 ; X i +1 = xi +1 ;...; X n = xn
ковариационна матрица, съставена от съответните
k11
=
...
на
разпределение на системата от случайни величини
условния
Доказва се [1], че всяка подсистема
K ij(k )
f (x1 , x2 ,..., xn ) e нормалната плътност
(8)
на разпределение на система от случайни величини
От формула (5) следва, че при многомерното
нормално разпределение, понятията некорелирани
и независими случайни величини са еквивалентни,
т. е., ако една сис тема от нормално разпределени
случайни величини е некорелирана, то тя е и система
от независими случайни величини.
( X 1 , X 2 ,..., X k )
f ( x1 ,..., xn )
,
f1,...,k ( x1 ,..., xk )
са
=
f xi | x1 ,..., xi−1 , xi+1 ,..., xn
1
σ x /x
i
i
1 x −a
i
xi / xi
exp −
2π
2 σ xi / xi
2
.
(10)
Определянето на вероятността за попадане на
случайната точка ( X 1 , X 2 ,..., X n ) в произволна област
на разс ейване Rn от n–мерното пространство (n>1)
ГКЗ 3-4’2016