Y = Y e s 0 rs
( 10 )
La Ecuación ( 11 ) o la Ecuación ( 12 ) son la forma más elemental de la función de ingreso minceriana . No obstante , el mismo Mincer ( 1974 ) incluyó , además de la escolaridad , la experiencia laboral de las personas , ya que ésta es una variable que indica el aprendizaje de las personas atribuido a la edad . Así , el modelo minceriano del ingreso se podría expresar como :
lnY i
= β 0 + β 1 s i
+ β 2
X i
+ β 3
X i2
+ u i
( 13 )
En donde los subíndices “ i ” expresan al i-ésimo individuo en la muestra , la variable representa la experiencia laboral del individuo “ i ” y X 2 la experiencia al cuadrado . Esta variable se incluye en forma cuadrática debido al supuesto de concavidad de la función , lo cual significa que los ingresos aumentan , pero en forma decreciente , con la experiencia , de ahí la forma de la curva de ingreso mostrada en la figura anterior 4 . Ahora bien , debe tenerse claro que la experiencia laboral está altamente correlacionada con la edad de las personas . En efecto , a mayor edad , la experiencia potencial del individuo , aumenta también . De ahí que pueda utilizarse a la edad como una variable proxy ( representativa ) de la experiencia .
La tasa de retorno de la educación como una semi-elasticidad
Cada parámetro en ( 13 ), desde β 1 hasta β 3 expresa , como en cualquier función de tipo lineal , el cambio en Y con respecto al cambio en X , es decir , la derivada de Y con respecto a X ó , más exactamente ( como se trata de una función en varias variables ) la derivada parcial de Y con respecto a X : ∂Y / ∂X
Ahora bien , dado que Y está expresada en logaritmos , el coeficiente
β 1 expresaría :
En esta sección se hará uso del álgebra matricial para estimar los parámetros β ´ s de la ecuación de los ingresos planteada inicialmente . Se seguirá básicamente a Gujarati ( 2010 ).
Una función con k-variables independientes puede expresarse , en su forma estocástica como :
Y i
= ß̂ + ß̂ X + ß̂ X +...+ ß̂ X + Û 1 2 2i 3 3i k ki i i = 1 , 2 , 3 ,… n ( 15 )
Donde ß̂ es el término de intersección ( ordenada en el origen ) estimado ; ß̂ “ hasta ” ß̂ son los coeficientes parciales de pendientes estimados ,
1
2 k û es el término de perturbación ( error ) estocástico estimado , el subíndice
i representa a la i-ésima observación ( individuo ) en la muestra , siendo n el tamaño de la muestra .
Como es sabido y como se mencionó en la introducción de este trabajo , una de las aplicaciones más relevantes del álgebra matricial consiste en estimar los parámetros ß s de la ( 1 ). El método es conocido como Mínimos Cuadrados Ordinarios ( MCO ), el cual consiste en minimizar la suma de los residuos ( u i
) al cuadrado . Procedamos a aplicar el método . La Ecuación ( 1 ) es una expresión abreviada del siguiente conjunto de n ecuaciones simultáneas :
Y 1
= ß̂ + ß̂ X + ß̂ X + ∙∙∙ + ß̂ X + û 1 2 2,1 3 3,1 k k , 1 1
Y 2
= ß̂ + ß̂ X + ß̂ X + ∙∙∙ + ß̂ X + û 1 2 2,2 3 3,2 k k , 2 2 ............................................................ ( 16 )
Y n
= ß̂ + ß̂ X + ß̂ X + ∙∙∙ + ß̂ X + û 1 2 2 , n 3 3 , n k k , n n
El sistema ( 16 ) puede escribirse en forma matricial como : β 1
= ∂lnY / ∂X = ( ∆ % Y ) ⁄ ∆X ( 14 )
En palabras : la derivada parcial del logaritmo natural de Y con respecto de X es igual al incremento porcentual de Y con respecto al incremento absoluto en X , lo cual es congruente con la definición minceriana de la tasa de retorno de la educación , si Y = ingreso y X = escolaridad en años :
La cual puede expresarse en forma más compacta , en notación matricial , como :
Δ % Ingreso Tasa de retorno de la educación ( TR ) = β 1
× 100 =
Δ por Año de Escolaridad
La demostración de la expresión ( 14 ) es la siguiente :
Como ya se dijo antes , los estimadores MCO se obtienen minimizando la suma de los residuales cuadráticos :
Lo cual es lo mismo que :
Donde ∑û i
2 es la suma de los residuos al cuadrado ( SRC ), que en notación matricial equivale a minimizar la multiplicación de los vectores : û ’ û
Enfoque matricial del modelo de regresión lineal
Ahora , de ( 18 ) se obtiene :
4 Más adelante se explicará más sobre este punto .
Revista Científica 11