Y = Y e s 0 rs
( 10)
La Ecuación( 11) o la Ecuación( 12) son la forma más elemental de la función de ingreso minceriana. No obstante, el mismo Mincer( 1974) incluyó, además de la escolaridad, la experiencia laboral de las personas, ya que ésta es una variable que indica el aprendizaje de las personas atribuido a la edad. Así, el modelo minceriano del ingreso se podría expresar como:
lnY i
= β 0 + β 1 s i
+ β 2
X i
+ β 3
X i2
+ u i
( 13)
En donde los subíndices“ i” expresan al i-ésimo individuo en la muestra, la variable representa la experiencia laboral del individuo“ i” y X 2 la experiencia al cuadrado. Esta variable se incluye en forma cuadrática debido al supuesto de concavidad de la función, lo cual significa que los ingresos aumentan, pero en forma decreciente, con la experiencia, de ahí la forma de la curva de ingreso mostrada en la figura anterior 4. Ahora bien, debe tenerse claro que la experiencia laboral está altamente correlacionada con la edad de las personas. En efecto, a mayor edad, la experiencia potencial del individuo, aumenta también. De ahí que pueda utilizarse a la edad como una variable proxy( representativa) de la experiencia.
La tasa de retorno de la educación como una semi-elasticidad
Cada parámetro en( 13), desde β 1 hasta β 3 expresa, como en cualquier función de tipo lineal, el cambio en Y con respecto al cambio en X, es decir, la derivada de Y con respecto a X ó, más exactamente( como se trata de una función en varias variables) la derivada parcial de Y con respecto a X: ∂Y / ∂X
Ahora bien, dado que Y está expresada en logaritmos, el coeficiente
β 1 expresaría:
En esta sección se hará uso del álgebra matricial para estimar los parámetros β ´ s de la ecuación de los ingresos planteada inicialmente. Se seguirá básicamente a Gujarati( 2010).
Una función con k-variables independientes puede expresarse, en su forma estocástica como:
Y i
= ß̂ + ß̂ X + ß̂ X +...+ ß̂ X + Û 1 2 2i 3 3i k ki i i = 1, 2, 3,… n( 15)
Donde ß̂ es el término de intersección( ordenada en el origen) estimado; ß̂“ hasta” ß̂ son los coeficientes parciales de pendientes estimados,
1
2 k û es el término de perturbación( error) estocástico estimado, el subíndice
i representa a la i-ésima observación( individuo) en la muestra, siendo n el tamaño de la muestra.
Como es sabido y como se mencionó en la introducción de este trabajo, una de las aplicaciones más relevantes del álgebra matricial consiste en estimar los parámetros ß s de la( 1). El método es conocido como Mínimos Cuadrados Ordinarios( MCO), el cual consiste en minimizar la suma de los residuos( u i
) al cuadrado. Procedamos a aplicar el método. La Ecuación( 1) es una expresión abreviada del siguiente conjunto de n ecuaciones simultáneas:
Y 1
= ß̂ + ß̂ X + ß̂ X + ∙∙∙ + ß̂ X + û 1 2 2,1 3 3,1 k k, 1 1
Y 2
= ß̂ + ß̂ X + ß̂ X + ∙∙∙ + ß̂ X + û 1 2 2,2 3 3,2 k k, 2 2............................................................( 16)
Y n
= ß̂ + ß̂ X + ß̂ X + ∙∙∙ + ß̂ X + û 1 2 2, n 3 3, n k k, n n
El sistema( 16) puede escribirse en forma matricial como: β 1
= ∂lnY / ∂X =( ∆ % Y) ⁄ ∆X( 14)
En palabras: la derivada parcial del logaritmo natural de Y con respecto de X es igual al incremento porcentual de Y con respecto al incremento absoluto en X, lo cual es congruente con la definición minceriana de la tasa de retorno de la educación, si Y = ingreso y X = escolaridad en años:
La cual puede expresarse en forma más compacta, en notación matricial, como:
Δ % Ingreso Tasa de retorno de la educación( TR) = β 1
× 100 =
Δ por Año de Escolaridad
La demostración de la expresión( 14) es la siguiente:
Como ya se dijo antes, los estimadores MCO se obtienen minimizando la suma de los residuales cuadráticos:
Lo cual es lo mismo que:
Donde ∑û i
2 es la suma de los residuos al cuadrado( SRC), que en notación matricial equivale a minimizar la multiplicación de los vectores: û’ û
Enfoque matricial del modelo de regresión lineal
Ahora, de( 18) se obtiene:
4 Más adelante se explicará más sobre este punto.
Revista Científica 11