Teste Gödel | Page 5

Running title • November 2012 • Vol. XXI, No. 1 Definição 5. Dizemos que uma teoria é consistente se não existe uma afirmação ϕ tal que existam provas para ϕ e para ¬ ϕ. Suponhamos T completa e consistente. Notamos então que, para cada afirmação do tipo “ f ( n ) = 1”, ou existe uma demonstração para ela, ou existe uma demonstração para “ f ( n ) = 0”, mas não ambos os casos simultaneamente. Note que com isso seria possível fazer um programa que calcule f ( n ) . Faça um programa chamado String que recebe n e retorna a string “ f ( n ) = 1”. Feito isso, basta olhar para o seguinte programa: SE(Provou(String(n)) == 1) RETORNA 1; SE NAO RETORNA 0; Quando a afirmação “ f ( n ) = 1” é demonstrável o programa retorna o valor 1 e quando a afirmação “ f ( n ) = 0” é demonstrável o programa retorna o valor 0. Mas isso é um programa que recebe o valor n e retorna f ( n ) , um absurdo, já que nossa f é não computavel. Como esse programa depende que nossa teoria seja consistente, provamos que uma teoria rica o suficiente para definir f e completa não pode ser consistente sem gerar contradições. 6. O fim Resumindo, mostramos que, se T é uma teoria tal que: 1. é suficientemente rica para podermos definir f ; 2. é consistente; 3. é completa; E chegamos a uma contradição. Desta forma, não existe uma teoria rica o suficiente para definir f , que não prove contradições e que prove ou refute qualquer afirmação. Podemos pensar então que dada uma afirmação ϕ que não prova ϕ nem ¬ ϕ, bastaria acrescentar ϕ como um axioma. Assim, T continuaria rica o suficiente para definir f , assim como consistente. Mas, se ela for completa então poderíamos aplicar o teorema novamente e chegar a uma nova contradição. Concluímos que T é tal que podemos aplicar o teorema feito neste texto e não adianta acrescentarmos algum axioma que ela continuará sendo incompleta. Hoje em dia, para fundamentar a matematica, temos o sistema de axiomas Zermelo-Fraenkel na teoria dos conjuntos, denominado ZF, ou ZFC, como ele é mais conhecido quando em conjunto do axioma da escolha. Referências [Figueredo and Wolf, 2009] Figueredo, A. J. and Wolf, P. S. A. (2009). Assortative pairing and life history strategy - a cross-cultural study. Human Nature, 20:317–330. 5