Running title • November 2012 • Vol. XXI, No. 1
Definição 5. Dizemos que uma teoria é consistente se não existe uma afirmação ϕ tal que existam provas
para ϕ e para ¬ ϕ.
Suponhamos T completa e consistente. Notamos então que, para cada afirmação do tipo
“ f ( n ) = 1”, ou existe uma demonstração para ela, ou existe uma demonstração para “ f ( n ) = 0”,
mas não ambos os casos simultaneamente.
Note que com isso seria possível fazer um programa que calcule f ( n ) . Faça um programa
chamado String que recebe n e retorna a string “ f ( n ) = 1”. Feito isso, basta olhar para o seguinte
programa:
SE(Provou(String(n)) == 1)
RETORNA 1;
SE NAO
RETORNA 0;
Quando a afirmação “ f ( n ) = 1” é demonstrável o programa retorna o valor 1 e quando a
afirmação “ f ( n ) = 0” é demonstrável o programa retorna o valor 0. Mas isso é um programa
que recebe o valor n e retorna f ( n ) , um absurdo, já que nossa f é não computavel. Como esse
programa depende que nossa teoria seja consistente, provamos que uma teoria rica o suficiente
para definir f e completa não pode ser consistente sem gerar contradições.
6.
O fim
Resumindo, mostramos que, se T é uma teoria tal que:
1. é suficientemente rica para podermos definir f ;
2. é consistente;
3. é completa;
E chegamos a uma contradição. Desta forma, não existe uma teoria rica o suficiente para
definir f , que não prove contradições e que prove ou refute qualquer afirmação.
Podemos pensar então que dada uma afirmação ϕ que não prova ϕ nem ¬ ϕ, bastaria acrescentar
ϕ como um axioma. Assim, T continuaria rica o suficiente para definir f , assim como consistente.
Mas, se ela for completa então poderíamos aplicar o teorema novamente e chegar a uma nova
contradição. Concluímos que T é tal que podemos aplicar o teorema feito neste texto e não adianta
acrescentarmos algum axioma que ela continuará sendo incompleta.
Hoje em dia, para fundamentar a matematica, temos o sistema de axiomas Zermelo-Fraenkel na
teoria dos conjuntos, denominado ZF, ou ZFC, como ele é mais conhecido quando em conjunto
do axioma da escolha.
Referências
[Figueredo and Wolf, 2009] Figueredo, A. J. and Wolf, P. S. A. (2009). Assortative pairing and life
history strategy - a cross-cultural study. Human Nature, 20:317–330.
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