-
Formula lui Simpson
Această metodă de integrare mai este cunoscută si ca „regula Simpson 1/3”. Dacă în cazul
metodei trapezului funcția de integrat era aproximată cu o funcție polinomială de ordinul 1, în cazul
regulii Simpson funcția de integrat este aproximată cu o funcție polinomială de ordinul 2.
f(x)dx = f’(x)dx = c0 + c1x + c2x2
4
Formula de calcul a integralei este:
, în care
Fig. 4. Reprezentarea geometrică a metodei Simpson 1/3
Regula Simpson pe segmente multiple
Ca și în cazul regulii trapezului pe segmente multiple, intervalul (a, b) poate fi segmentat
în n intervale egale, pe fiecare interval aplicându-se regula Simpson.
!!! Este important ca n să fie numar par.
Dacă a = x0 si b = xn , se poate scrie:
iar integrala poate fi descompusă într-o sumă de integrale, corespunzătoare fiecărui interval:
. . .
Aplicând regula Simpson 1/3 pentru fiecare interval și ținând cont că:
xi = xi-2 + 2h, dacă i = 2, 4, , n. (xi+1 = xi + h, dacă i = 0, 1, 2, n-1. h este pasul)
se obține relația de calcul a integralei folosind regula lui Simpson pe segmente multiple:
4
3
2
Obs. x2 = x0 + 2h; x4 = x2 + 2h etc. x1 = x0 + h; x3 = x2 + h;
Exemplu: Regula lui Simpson pe 4 segmente (n = 4)
4
2
în care: x0 = a, xn = b,
, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x2 + h = x1 + 2h,
x4 = x2 + 2h = x3 + h = b.
Metoda dreptunghiurilor
Dintre formulele lui Gauss, un caz particular de formulă de cuadratură îl prezintă formula de
cuadratură a dreptunghiului prezentată mai jos:
, unde
este restul formulei de cuadrarură de tip
Gauss.
Aplicatia 1. Distanța (în metri) pe care se deplasează o rachetă în intervalul de timp t1 = 8 s, t2 = 30
s, poate fi calculată cu relația:
140000
2000
9,8
140000 2100
Calculați această distanța folosind metodele numerice prezentate anterior.
Soluție:Aplic formula trapezului:
8
30
∙
. Pentru a=8 și b=30 avem
, unde f(8) = 177,28 m/s și f(30) = 901,67m/s
535