2 . Se pide que investigue la integración por fórmulas de reducción para una integral específica .
Sea π n
In ( ) = ∫ xsen xx d , donde n = 0,1 , 2 , � .
0
( a ) ( i ) Muestre que I( 0 )
1 2
2
= π .
( ii ) Halle I ( 1 ) .
( b ) |
( i ) |
2
2
Utilizando sen x= 1− cos x, muestre que
|
|
|
π n
2
In
(
+
2 )
=
In
( )
−∫ xsen xcos xx d
|
0
[ 7 ] π x 2 sen n x cos xx d
0
∫ puede expresarse como n+ 1
1 π d ( sen x) cos ⋅
1
0 d
x x dx n+ ∫ . x
( ii ) Exprese π x 2 sen n x cos xx d
0
∫ en términos de In ( + 2 ) y n .
( iii ) A partir de lo anterior , muestre que
( c ) Utilizando ( b )( iii ), halle , en términos de π , n + 1 In ( + 2 ) = In ( ) . n + 2 [ 11 ]
( i ) I ( 4 ) ;
( ii ) I ( 7 ) .
( d ) Explique por qué I( 2 n) ≤ I( 2n−1 ) ≤ I( 2n− 2 ) para n ≥ 1.
[ 6 ]
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