2 . Se pide que investigues la factorización de una ecuación polinómica compleja de grado par .
( a ) |
( i ) |
2
Resuelva la ecuación cuadrática w
− w+ 1=
0, exprese las
|
|
|
raíces en la forma cosθ
+ isenθ
,
− π
< θ
≤ π
.
|
4 2
( ii ) A partir de lo anterior , muestre que las raíces u − u + 1= 0 son ⎛ 5π
⎞ ⎛ 5π
⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ π π cos⎜− ⎟+ isen ⎜−
⎟, cos⎜− ⎟+ isen ⎜−
⎟, cos + isen y ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 6 6 5π
5π cos + isen .
6 6
2n n
( iii ) Resuelva la ecuación cuadrática z − z + 1= 0, exprese las raíces en la forma cosθ
+ isenθ .
[ 12 ] ( z− ( cosθ + isen θ))( z− cos ( − θ) + isen ( − θ) ) como una
( b ) ( i ) Exprese ( )
expresión cuadrática de z , de su respuesta en términos de z y θ .
( ii ) A partir de lo anterior , muestre que
4 2 ⎛ 2 π ⎞⎛ 2 5π
⎞ u − u + 1 = ⎜u − 2ucos + 1⎟⎜u − 2ucos + 1⎟ ⎝ 6 ⎠⎝ 6 ⎠ .
6 3
( iii ) Exprese z − z + 1 como el producto de tres expresiones cuadráticas de z .
( iv ) Suponiendo que n es par , sugiera una expresión para
2n n
z − z + 1= 0 como el producto de n expresiones cuadráticas de z .
[ 9 ] π 5π 3 ( c ) Utilizando ( b )( ii ), verifique que cos cos = − .
6 6 4 [ 3 ] π 5π 7π ( d ) Halle cos cos cos . 9 9 9
[ 4 ]
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