��
�� � � �
riguros că şirul este monoton şi mărginit :
Avem
P n : x � 2,3 , � n�
N � . Mărginirea şirului . Formulăm propoziţia � � � � � � I . Verificarea propoziţiei � � � �
P 1 : x � 2,3 : evident din ipoteză .
II . Demonstrarea implicaţiei � � � � � �
1
P k � P k �1 , � k � N � .
� 2 2
2
�xk � 4xk � 6 � 2 � �� xk �2�
�0 xk �1
��2,3� � xk � 4xk � 6��2,3�
� � � �
, 2
�� xk
� 4xk � 6 � 3 ��� xk
�1�� xk �3�
� 0 ceea ce este evident având în vedere că x ��2,3 �. Deci P�n � este adevărată ��� n�
N � .
Monotonia şirului . Formulăm propoziţia � � � � I . Verificarea propoziţiei � � 1 2
k n
Q n : x � x , � n� N � . n n�1
Q 1 : x � x : am demonstrat mai sus .
II . Demonstrarea implicaţiei Q�k� � Q�k �1 �, ���k � N � . 2 xk �1 xk �2 xk �1 xk �1 xk �1 �xk �1 ��xk
�1
� x �2,3 �, � � . care este adevărată deoarece am văzut că n � � n�
N � � � � adevărată n � N�.
� � � � 4 � 6 � � 2 �3 � 0
deci limita este l � 2 , dacă 1 3 x1 � 2,3
Deci ,
Q�n�
Prin urmare , şirul este descrescător şi mărginit inferior , de unde rezultă că este convergent . Am văzut că limita poate fi 2 sau 3 . Observăm că , dacă x1 � 2 x 2 , � � , atunci n � � n�
N � x � x atunci n � 3 , ���n� N � , deci limita este
3 , l � 2 . Observaţii :
l � iar dacă
� � este
şirul este chiar strict descrescător şi atunci limita este
1 . Observăm în cazul studiat că mărginirea şirului a ajutat la dovedirea monotoniei . Tragem concluzia că cele două proprietăţi se pot ajuta una pe cealaltă în efortul comun de arăta convergenţa unui şir .
2 . Mărginirea şirului se deduce şi din următoarele considerente ( care merită semnalate deoarece am observat o mai mare atragere a elevului în dorinţa de a învăţa surprinzându-l cu alte metode pe care le putea şi singur aplica , dar nu-şi imagina legătura cu noţiunea respectivă ). f : R � R, f x � x � 4x � 6 . Pentru
Pentru aceasta să considerăm funcţia
� �
2 x ��
� � � � � � � � � � � � � � f
1 2,3
��
�� � � �
2,3 2,3 .
� x2 � f x1 � 2,3 , x3 � f x2 � 2,3 ,..., xn
� 2,3 , � n� N � .
Altfel spus ,
23