��
�� � � �
riguros că şirul este monoton şi mărginit:
Avem
P n: x � 2,3, � n�
N �. Mărginirea şirului. Formulăm propoziţia � � � � � � I. Verificarea propoziţiei � � � �
P 1: x � 2,3: evident din ipoteză.
II. Demonstrarea implicaţiei � � � � � �
1
P k � P k �1, � k � N �.
� 2 2
2
�xk � 4xk � 6 � 2 � �� xk �2�
�0 xk �1
��2,3� � xk � 4xk � 6��2,3�
� � � �
, 2
�� xk
� 4xk � 6 � 3 ��� xk
�1�� xk �3�
� 0 ceea ce este evident având în vedere că x ��2,3 �. Deci P�n � este adevărată ��� n�
N �.
Monotonia şirului. Formulăm propoziţia � � � � I. Verificarea propoziţiei � � 1 2
k n
Q n: x � x, � n� N �. n n�1
Q 1: x � x: am demonstrat mai sus.
II. Demonstrarea implicaţiei Q�k� � Q�k �1 �, ���k � N �. 2 xk �1 xk �2 xk �1 xk �1 xk �1 �xk �1 ��xk
�1
� x �2,3 �, � �. care este adevărată deoarece am văzut că n � � n�
N � � � � adevărată n � N�.
� � � � 4 � 6 � � 2 �3 � 0
deci limita este l � 2, dacă 1 3 x1 � 2,3
Deci,
Q�n�
Prin urmare, şirul este descrescător şi mărginit inferior, de unde rezultă că este convergent. Am văzut că limita poate fi 2 sau 3. Observăm că, dacă x1 � 2 x 2, � �, atunci n � � n�
N � x � x atunci n � 3, ���n� N �, deci limita este
3, l � 2. Observaţii:
l � iar dacă
� � este
şirul este chiar strict descrescător şi atunci limita este
1. Observăm în cazul studiat că mărginirea şirului a ajutat la dovedirea monotoniei. Tragem concluzia că cele două proprietăţi se pot ajuta una pe cealaltă în efortul comun de arăta convergenţa unui şir.
2. Mărginirea şirului se deduce şi din următoarele considerente( care merită semnalate deoarece am observat o mai mare atragere a elevului în dorinţa de a învăţa surprinzându-l cu alte metode pe care le putea şi singur aplica, dar nu-şi imagina legătura cu noţiunea respectivă). f: R � R, f x � x � 4x � 6. Pentru
Pentru aceasta să considerăm funcţia
� �
2 x ��
� � � � � � � � � � � � � � f
1 2,3
��
�� � � �
2,3 2,3.
� x2 � f x1 � 2,3, x3 � f x2 � 2,3,..., xn
� 2,3, � n� N �.
Altfel spus,
23