Multiplication of two complex numbers
Let z1 = a + ib and z2 = c + id be any two complex numbers. Then, z1 * z2 =( ac – bd) + i( ad + bc)
For example,( 3 + i5)( 2 + i6) =( 3 * 2 – 5 * 6) + i( 3 * 6 + 5 * 2) =-24 + i28 The multiplication of complex numbers satisfies the following properties:
o |
Closure law: z1 * z2 = complex Number |
o |
Commutative law: z1 * z2 = z2 * z1 |
o |
Associative law:( z1 * z2) * z3 = z1 *( z2 * z3). |
o |
Multiplicative identity: z * 1 = z. |
o |
Multiplicative inverse: z *( 1 / z) = 1. |
( where z ≠ 0) |
o |
Distributive law: z1( z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3 |
Division of two complex numbers
Given any two complex numbers z1 and z2, where z2 ≠ 0, z1 / z2 = z1 *( 1 / z2)
For example, let z1 = 2 + 3i and z2 = 2 + 2i, z1 * z2 =( 2 + 3i)/( 2 + 2i) To solve this, we will rationalize the denominator z1 * z2 =( 2 + 3i)/( 2 + 2i) *( 2- 2i)/( 2- 2i) =(-2 + i10) / 8 =-1 / 4 + i5 / 4
Power of i
o i 2 =-1 o i 3 =-i o i 4 = 1 o i 5 = i o i 6 =-1 o i-1 =-i o i-2 =-1 o i-3 = i o i-4 = 1