=
ehk kolmemõõtmelise ruumi korral
+
+
=
Kuid selline võrrand ühtib Schrödingeri võrrandiga
+
=
Selline seos kehtib ainult siis kui osake on vaba ehk U = 0. Kuid nüüd teostame selles võrrandis
asenduse
(
(
=
Kuna U = 0 ( see ei sõltu ajast ), saame statsionaarsete olekute Schrödingeri võrrandi järgmiselt:
+
=
ehk
+
=
Kui U = 0, siis saadud võrrand ühtib järgmise võrrandiga:
+
(
=
Selline on siis vabalt liikuva osakese Schrödingeri võrrand. Koguenergia E ühtib kineetilise
energiaga T – suurust E võib viimases võrrandis tõlgendada kas osakese kogu- või kineetilise
energiana. See on nii siiski vaba osakese korral. Kuid osakesele mõjuvate jõudude olemasolu korral
on vaja E asemele viia siiski osakese kineetiline energia T = E – U.
Selline ongi lainefunktsioon, mis kirjeldab mikroosakese olekut. Selline koordinaatide ja aja
funktsioon ongi leitav sellise võrrandi lahendamisel. i on imaginaarühik, h on Plancki konstant, mis
on jagatud 2 piiga, m on osakese mass, U on osakese potentsiaalne energia ja Laplace´i operaator:
=
+
+
Lainefunktsiooni kuju on üldjuhul määratud siiski potentsiaalse energiaga U – osakesele
mõjuvatele jõudude iseloomuga. U on koordinaatide ja aja funktsioon.
Lainefunktsioon otseselt mõõdetav füüsikaline suurus ei ole, mõõta saab ainult tõenäosust. Kuna
aga lainefunktsioon annab tõenäosuse, nimetatakse seda tihti ka tõenäosusamplituudiks.
Lainefunktsiooni mooduli ruut annab tõenäosustiheduse. Lainefunktsiooniga on määratud
vaadeldava osakese olek ja tema edaspidine käitumine.
Schrödingeri võrrandit ei ole tegelikult võimalik tuletada. Kõik eelnev diferentsiaalmatemaatiline „tuletus“ oli lihtsalt elav näide sellest, kuidas sellise osakese kui lainet kirjeldava diferentsiaalvõrrandini jõuda. Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika teoreetiliseks aluseks. See on
diferentsiaalvõrrand, mille kaudu on võimalik välja arvutada osakese tõenäosuslaine sõltuvuse
111