Analoogilisel teel saadakse ka määramatuse seos osakese energia ja aja vahel:
Kuid see oli matemaatiline tuletus ja kirjeldus osakese määramatuse seosest impulsi ja koordinaadi
vahel. Füüsikaline tuletus ja kirjeldus sellest oli esitatud eespool funktsiooni integraalidega ja
lainepakettidega. Osakese määramatuse seosed tulenevad ju osakese lainelistest omadustest, mitte
aga lihtsalt „suvaliselt“ matemaatilistest võrranditest. Matemaatilise lähenemise korral lahendatakse
operaatori omaväärtusülesanne, mille korral tuleb leida omaväärtused ja seega omaolekud (
diskreetsel juhul ):
= ,
kus on operaator ( operaator on alati katusega ) ehk füüsikaline suurus, f on omaolek ehk
omafunktsioon ja tundmatu a on omaväärtus ehk füüsikalisele suurusele vastav kindel arvuline
väärtus. Füüsikaliste suuruste arvud peavad olema reaalarvud. Omaväärtusülesanne ei anna meile
normeeritud kuju. Operaator on arvude üldistus. Igale füüsikalisele suurusele vastab operaator, mis
toimib olekufunktsioonina. Operaator on teisenemise eeskiri, mille järgi saame ühest funktsioonist
teise funktsiooni. Funktsioon =
=
on lõpmata mõõtmeline vektor ehk lõpmata komponendine vektor, milles on olemas funktsioonid φn ( kus n = 1, 2, 3, ... ). Operaatori omaväärtusülesanne on pidevuse kujul esitatav aga järgmiselt:
(
=
(
,
milles a väärtus võib muutuda nullist kuni lõpmatuseni ehk pidevalt ja
=
=
(
(
,
milles a on konkreetsed väärtused,
on ühe konkreetse väärtuse tõenäosus, (
näitab
tõenäosuse tihedust ja
on omafunktsioonid.
Määramatuse seos osakese koordinaadi ja impulsi vahel △x△p=h on seotud määramatuse
seosega osakese energia ja aja vahel järgmiselt. Osakese määramatuse seos koordinaadi ja impulsi
vahel on △x△p=h. Näiteks footon liigub vaakumis kiirusega c ja seega võib viimases seoses △x
avalduda nii: △x=c△t. Määramatuse seos avaldub nüüd niimoodi: c△t△p=h. Kuna osakese energia
avaldub valemiga E=mc2 ( E=mc2=hf ) ja impulss p=mc ( kuna siin v=c ), siis saamegi osakese
määramatuse seose energia ja aja vahel: c△t△(mc)=h, seega △E△t=h. Viimane seos näitab seda, et
osakese energia täpseks mõõtmiseks kestab mõõtmisprotsess lõpmata kaua. See tähendab sisuliselt
seda, et osakese energiat E ( kui osakese energiatase eksisteerib mingi Δt jooksul ) ei ole võimalik
määrata täpsemalt kui ΔE = h / Δt. Energia ja aja määramatuse seosest on võimalik määrata
kiirgussiirde kestvust Δt. See on umbkaudu sellises suurusjärgus, mis jääb 10-9 – 10-8 sekundit. Kuid
valguse võnkumise sagedus on umbes 1014 Hz. Kiirguvas valguse laines jõuab selle ajaga toimuda
sadu tuhandeid kuni miljoneid valguse võnkeid. Footon, mida kiiratakse, on nagu lainejada, milles
võib sisalduda 105-106 võnget. Valguse laine sagedus on teatavasti f = c / λ. Selle järgi on võimalik
välja arvutada ka footoni energia. Aja perioodi Δt, mille jooksul kiiratakse, on nimetatud ka kestust,
mille jooksul aatom on ergastatud. Aatomite kiirgumised kestavad lõpmatult kaua ainult siis, kui ΔE
läheneb nullile. Kuid kui ΔE läheneb lõpmatusele, siis aatomi kiirgumisaeg Δt läheneb nullile. Määramatuse seose tuletus osakese energia ja aja vahel näitab mõlema määramatuse seose omavahelist
seost ja ühist päritolu ( tulenevust osakese laineomadustest ).
Määramatuse relatsioonid on meie mikromaailmas üsna olulised. Näiteks klassikalise teooria
112