Teoría 5
Un gran descubrimiento, una conquista revolucionaria de notación aritmética: las congruencias
Dados dos números enteros a y b si su diferencia (a - b ó b - a) es exactamente divisible por el número m, decimos que a, b son congruentes respecto al módulo m , y simbolizamos esto escribiendo a º b (mód m ) Así,
100 º 2 (mód 7), 35 º 2(mód 11).
La ventaja de esta notación es que recuerda la forma en que escribimos las ecuaciones algebraicas, trata la divisibilidad aritmética con una breve notación y permite "sumar, restar, multiplicar… congruencias", con tal de que el módulo sea el mismo en todas, para obtener otras congruencias. Y permite estudiar ecuaciones con congruencias: ax + b c (mód m)
Como colofón a las dos primeras secciones Gauss aplica estos métodos a problemas históricos como el de dado un número A determinar la cantidad de números primos con A y menores que él
Se trata de la célebre función j (A) introducida por Euler. Dando una fórmula general para su cálculo: Si A = a m b n c p... siendo a, b, c, ... primos,
j (A) =
Y termina con la demostración del teorema fundamental de las congruencias polinómicas
Una congruencia de grado m, Ax m + Bx m-1 + ... +Mx + N 0 (mod p)
Cuyo módulo p es primo que no divide a A, no puede resolverse de más de m maneras diferentes o no puede tener más de m raíces no congruentes con relación a p.
Ley de reciprocidad cuadrática
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Por Alejandra Ortiz