Teoría 3
Teoría de la geometría diferencial
Esta obra, fruto de las ideas sobre la geometría de superficies nacidas de sus observaciones geodésicas constituye la contribución definitiva de Gauss a la geometría diferencial.
Gauss concibe la superficie “no como el límite de un sólido, sino como un sólido flexible e inextensible, una de cuyas dimensiones está obligada a desvanecer”.
Pero su gran aportación va a ser no estudiar la superficie desde un punto de vista global sino desde un punto de vista local, en el entorno de un punto. Esto le va permitir despreciar las potencias de grado superior a dos en el cálculo de las distancias.
En su estudio de superficies Gauss utiliza de forma magistral la representación paramétrica introducida por Euler, realizando una visión intrínseca de la superficie como una variedad bidimensional, las coordenadas (x, y, z) de un punto vienen dadas por tres ecuaciones dependiendo de dos parámetros: x = x(u, v); y = y(u, v); z=z(u,v)
Demuestra que si dos superficies son isométricas (aplicable la una sobre la otra) la curvatura total en dos puntos correspondientes es la misma (theorema egregium).
Una conclusión inmediata es que para mover sin distorsión una parte de una superficie sobre otra parte de la misma superficie es necesario que la superficie tenga curvatura constante. Así una parte de una esfera puede ser desplazada sin distorsión sobre otra, pero esto no ocurrirá con un paraboloide.
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Por Alejandra Ortiz