Teoremin Matematiksel İfade Edilişi ve Anlamı Nedir ?
Thomas Bayes teorem nde , g tt ğ ülkelerde refah düzey n ölçen mevcut en y kanıtlara ( gözlemler , ver , b lg ) dayalı düşünceler n ( h potezler , dd alar , önermeler ) geçerl l ğ n hesaplamayı temel almıştır . Teorem n en bas t tanımı şudur :
İlk düşünce + yen kanıt = yen ve gel şt r lm ş düşünce .
Yen kanıt ver ld ğ nde b r düşüncen n doğru olma olasılığı
( o kanıtın doğru olup olmadığına bakılmaksızın doğru olduğu göz önüne alınarak ); düşüncen n doğru olma olasılığı le düşünce ver ld ğ nde ( o düşüncen n doğru olup olmadığına bakılmaksızın ); kanıtın doğru olma olasılığıyla lg l d r .
Olasılık ç n P , düşünce ç n A ve kanıt ç n B s mgeler
kullanılsın . Temel matemat ksel formül , şu formu alır :
Tıbbi testlerden örnek vermek , formülü anlamaya genellikle yardımcı olabilir . Diyelim ki yaş grubunuzdaki insanların yüzde birinde meydana geldiği tahmin edilen bir kanser türü için test yaptırdınız . Test yüzde 100 güvenilirse , pozitif bir testin ne anlama geldiğini bilmek için Bayes teoremine ihtiyacınız yoktur ; ancak yine de nasıl çalıştığını görmek için teoremi kullanalım . P ( B | E )’ yi çözmek için verileri Bayes denkleminin sağ tarafına koyarsınız . Test edilmeden önce kanser olma olasılığınız olan P ( B ), yüzde bir veya 0,01 ’ dir . Pozitif çıkma olasılığınız olan P ( E ) de öyle . Sırasıyla pay ve paydada oldukları için birbirlerini götürürler ve P ( B | E ) = P ( E | B ) = 1 kalır . Testin sonucuna göre pozitif çıkarsanız , kesinlikle kanser hastası olursunuz . Gerçek dünyada testler nadiren tamamen güvenilirdir . Diyelim ki testiniz yüzde 99 güvenilir . Yani , kanser olan 100 kişiden 99 ’ unu pozitif test edecek ve sağlıklı olan 100 kişiden 99 ’ unu negatif test edecektir . Bu hâlen harika bir testse , testiniz pozitif olduğunda kanser olma olasılığınız nedir ? Şimdi Bayes teoremi gücünü gösteriyor . Çoğu insan cevabın yüzde 99 veya buna yakın olduğunu varsayar . Test bu kadar güvenilir midir ki ? Görüldüğü gibi Bayes teoreminin verdiği doğru cevap sadece yüzde 50 ’ dir . Nedenini bulmak için verileri Bayes denkleminin sağ tarafına yerleştirin . P ( B ) hala 0,01 ’ dir . Kanser hastalığınız varsa testin pozitif çıkma olasılığı olan P ( E | B ) şimdi 0,99 olur . Yani P ( B ). P ( E | B ) = 0,01.0,99 veya 0,0099 ’ a eşittir . Bu , kanser olma yani gerçekten pozitif çıkma olasılığınızı gösteren değerdir . Peki , payda P ( E ) ne olacak ? İşte burası işlerin zorlaştığı yer . P ( E ), kanser olup olmadığınıza bakılmaksızın testin pozitif çıkma olasılığıdır . Başka bir deyişle , yanlış pozitiflerin yanı sıra gerçek pozitifleri de içerir . Yanlış pozitif olasılığını hesaplamak için ; yüzde bir veya 0,01 olan yanlış pozitiflerin oranını , kanserli olmayanların yüzdesi olan 0,99 ile çarparsınız . Sonuç 0,0099 ’ a karşılık geliyor . Evet , yüzde 99 doğru olan testiniz , gerçek pozitifler kadar çok sayıda yanlış pozitifleri de verir . Hesaplamayı bitirelim . P ( E ) elde etmek için . 0198 olarak hesaplanan doğru ve yanlış pozitiflerin olasılığını formüle ekleyin ve . 0099 ’ a bölün . Sonuç 0,5 ’ e karşılık gelir . P ( B | E ) = 0,0198 / 0,0099 = 0,5Öyleyse bir kez daha testin sonunda pozitif çıkarsanız kanser olma olasılığınız olan P ( B | E ), yüzde 50 bulunur . Testi tekrar yaptırırsanız , belirsizliğinizi büyük ölçüde azaltabilirsiniz ; çünkü kanser olma olasılığınız P ( B ), şimdi yüzde bir yerine yüzde 50 ’ dir . İkinci testiniz de pozitif çıkarsa , Bayes teoremi size kanser olma olasılığınızın yüzde 99 veya 0,99 olduğunu söyler . Bu örneğin gösterdiği gibi , Bayes teoremini yinelemek son derece kesin bilgiler verebilir . Ancak testinizin güvenilirliği yüzde 90 ise -ki bu yine de oldukça iyidir- testin sonucunda iki kez pozitif çıksanız bile kansere yakalanma şansınız hala yüzde 50 ’ den azdır .
KAYNAK : https :// blogs . scientificamerican . com / cross-check / bayes-s-theorem-what-s-the-big-deal /