Dois vídeos para explorar: o paradoxo do Hotel de Hilbert e um zoom infinito!
David Hilbert criou o paradoxo do Hotel de Hilbert para mostrar o quão complexo é o conceito do infinito. Imaginemos um hotel com infinitos quartos, que uma noite está totalmente cheio com infinitos hóspedes. Um homem chega e pede um quarto. Para deixar o homem ficar no hotel infinitamente cheio tem apenas de se pedir ao hóspede que está no quarto 1 para passar para o quarto 2, o que estava no quarto 2 para passar para o quarto 3 e assim sucessivamente. Como há quartos infinitos, há agora um quarto livre (quarto 1) para o homem que chegou, e o mesmo se passa para qualquer número finito. Mas imaginemos agora o hotel infinitamente cheio quando chega um autocarro infinito cheio de passageiros que procuram um quarto. Se pedirmos ao hóspede do quarto 1 para passar para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para passar para o quarto 4, ao hóspede do quarto 3 para passar do quarto 3 para o quarto 6 e assim sucessivamente, passando os hóspedes do quarto n para o quarto 2n, ficamos com o hotel cheio apenas nos quartos pares, deixando os quartos ímpares para os hóspedes novos. Assim, o hotel estaria sempre infinitamente cheio e infinitamente vazio.
O Conjunto de Mandelbrot é um dos fractais mais famosos da matemática, definido por uma regra muito simples sobre números complexos. Este é conhecido tanto pela sua importância teórica em dinâmica complexa como pela sua beleza visual. A imagem típica mostra uma figura preta em forma de coração (um cardióide) com vários “bolbos” circulares ligados, formando um fractal com detalhe infinito. Ao ampliar, aparecem pequenas “cópias” do próprio Mandelbrot e estruturas auto-semelhantes como espirais, “flores” e filigranas. A região preta é o conjunto em si; o que é fractal é a sua fronteira, que separa pontos que pertencem e que não pertencem ao conjunto. Esta fronteira é altamente complicada, sem trechos lisos em grande escala, e exibe uma estrutura complexa em qualquer ampliação. Ao fazer zoom perto da fronteira, vemos surgirem sempre mais detalhes, com padrões que se repetem de forma aproximada em diferentes escalas, o que caracteriza auto-semelhança fractal. Em muitas regiões percebemos pequenas “cópias” do próprio Mandelbrot ligadas por filamentos finos, mostrando repetição de formas com variações. O “perímetro” (comprimento da fronteira) do conjunto de Mandelbrot é considerado infinito, embora a área do conjunto seja finita. A fronteira do Mandelbrot é um fractal extremamente recortado, com detalhe em todas as escalas, o que faz com que o seu comprimento cresça sem limite à medida que se mede com réguas cada vez menores. Por isso, fala‑se de área finita (≈1,506…) mas perímetro infinito, o que é típico de muitos fractais: ocupam “pouco espaço”, mas têm fronteiras infinitamente enrugadas.
A Teoria da Maçã consiste na ideia de colocarmos uma maçã numa caixa fechada onde nem energia em matéria poderiam escapar – um sistema isolado. Se esperássemos um tempo infinito antes de abrir a caixa, a maçã estaria intacta. Como é que isto é possível? Segundo físicos, a maçã iria apodrecer e desintegrar-se em pó que possui energia química, de seguida tornar-se-ia em plasma, e depois de um tempo indefinido e de terem passado por todos os estados possíveis, os estados voltariam a ser utilizados. Por isso, teoricamente, se esperarmos tempo suficiente, a maçã terá passado por todos os estados possíveis 2 vezes de modo a voltar ao seu estado inicial. Assim, quando abríssemos a caixa teríamos a maçã tal e qual como a deixámos quando a fechámos.
Concluindo, o infinito é utilizado em diversas vertentes levantando questões que, apesar de não contribuírem concretamente para a sua definição, nos ajudam a entender a sua complexidade, que apesar de parecer moderada é mais intrincada do que aparenta à primeira vista, uma vez que a ideia que nós temos sobre o infinito não condiz com a definição na sua totalidade.