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Podemos preguntarnos, ¿en qué posición el observador ve una media luna?: cuando tenga en su campo de visión una mitad del hemisferio iluminado y una mitad del hemisferio sin iluminar, es decir, cuando esté en algún punto de la líneaEE´.
En fin, un observador en la Tierra ve una media luna sólo cuando el ángulo sea un ángulo recto.
Para medir este ángulo hay que observar a la vez el Sol y la Luna cuando ésta es visible de día, especialmente cerca de la puesta del sol o de su salida.
Algunas veces, en estas condiciones, la Luna está en fase de media luna (cuarto creciente o cuarto menguante), entonces medimos , que llamaremos ß (beta) a partir de ahora.
La primera observación de Aristarco, sin realizar medida alguna, fue muy curiosa: puesto que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado más grande, dedujo que el Sol está más lejos de la Tierra que la Luna. También dedujo que el Sol debía ser mucho más grande que la Luna, ya que estando más lejos tenía el mismo tamaño aparente desde la Tierra.
Al medir ß, se determina el tercer ángulo (el complementario de ß), de forma que se conoce la figura pero no el tamaño del triángulo .
Por tanto, aunque la longitud verdadera de cualquier lado no está determinada, la proporción de cualquier par de lados sí que lo está.
La proporción de las distancias LT(Luna-Tierra),ST(Sol-Tierra) nos la da el coseno del ángulo ß: